2024年吉林农业大学成人高考专升本入学考试高等数学(二)真题 

高等数学(二)-复习资料

一、选择题

1．当x→0时，x²是x-1n(1+x)的（  C  ）．

A．较高阶的无穷小量

B．等价无穷小量

C．同阶但不等价的无穷小量

D．较低阶的无穷小量

【解析】本题考查两个无穷小量阶的比较．

比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限，从而确定正确的选项．本题即为计算：

 

由于其比的极限为常数2，所以选项C正确．

2．设函数ƒ(sinx)=sin² x，则ƒˊ(x)等于（ D ）．

A．2cos x

B．-2sin xcosx

C．％

D．2x

【解析】本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算．

本题的解法有两种：

解法1先用换元法求出ƒ(x)的表达式，再求导．

设sinx=u，则ƒ(x)=u²，所以ƒˊ(u)=2u，即ƒˊ(x)=2x，选D．

解法2将ƒ(sinx)作为ƒ(x)，u=sinx的复合函数直接求导，再用换元法写成ƒˊ(x)的形式．

等式两边对x求导得

ƒˊ(sinx)·COSx=2sin xCOSx，ƒˊ(sin x)=2sinx．

用x换sin x，得ƒˊ(x)=2x，所以选D．

3．以下结论正确的是（ C ）．

A．函数ƒ(x)的导数不存在的点，一定不是ƒ(x)的极值点

B．若x₀为函数ƒ(x)的驻点，则x₀必为ƒ(x)的极值点

C．若函数ƒ(x)在点x₀处有极值，且ƒˊ(x₀)存在，则必有ƒˊ(x₀)=0

D．若函数ƒ(x)在点x₀处连续，则ƒˊ(x₀)一定存在

【解析】本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念，驻点与极值点等概念的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的．要否定一个命题的最佳方法是举一个反例，

例如：

y=|x|在x=0处有极小值且连续，但在x=0处不可导，排除A和D．

y=x³，x=0是它的驻点，但x=0不是它的极值点，排除B，所以命题C是正确的．

4．= (  C  )

A.  B. C. D.

5．函数y=ex-x在区间(-1，1)内（ D ）．

A．单调减少

B．单调增加

C．不增不减

D．有增有减

【解析】本题需先求出函数的驻点，再用y″来判定是极大值点还是极小值点，若是极值点，则在极值点两侧的yˊ必异号，从而进一步确定选项．

因为yˊ=e^x-1，令yˊ=0，得x=0．

又y″=e^x>0，x∈(-1，1)，且y″|_x=0=1>0，所以x=0为极小值点，故在x=0的左、右两侧的函数必为由减到增，则当x∈(-1，1)时，函数有增有减，所以应选D．

6 （  C  ）       

【解析】

属于极限基本题，分子，分母同除，即得，选C

7已知在区间（）内为单调减函数，且>，则的取值范围是（   D   ）

A. ()

B.  ()

C.  ()

D. ()

【解析】属概念题，选 D   与>无关

8．设y=ƒ(x)二阶可导，且ƒˊ(1)=0,ƒ″(1)>0，则必有（ B ）．

A．ƒ(1)=0 

B．ƒ(1)是极小值

C．ƒ(1)是极大值

D．点(1,ƒ(1))是拐点

【提示】根据极值的第二充分条件确定选项．

9．设f(x)是可导的连续函数，则等于（   D   ）

 

A．ƒ(3)- ƒ(1)

B．ƒ(9)- ƒ(3)

C．1[f(3)-f(1)

D．1/3[ƒ(9)- ƒ(3)]

【解析】本题考查的知识点是定积分的换元法．本题可以直接换元或用凑微分法．

 

10．设函数z=x²y+x+1,则等于（   B    ）

A．2x+1

B．2xy+1

C．x²+1 

D．x²

【解析】用二元函数求偏导公式计算即可．

 

11．设事件A，B的P(B)=0．5，P(AB)=0．4，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A | B)=（ C ）．

A．O．1

B．0．2

C．0．8

D．0．9

【解析】利用条件概率公式计算即可．

 

12已知ƒ(x)=aretanx2，则ƒˊ(1)等于（ C ）．

A．一1

B．0

C．1

D．2

【解析】先求出ƒˊ(x)，再将x=1代人

13下列定积分的值等于0的是（ A ）．

A．

B．

C．

D．

【解析】本题考查的知识点是奇函数在对称区间上的定积分等于零

14设函数在区间,则（  B  ）

A.单调增加

B.单调减少

C.先单调增加，后单调减少

D.先单调减少，后单调增加

15设，是两随机事件，则事件表示(   C   )

A.事件，都发生

B.事件发生而事件不发生

C.事件发生而事件不发生

D.事件，都不发生

二、填空题．

1．设函数 ，在x=0处的极限存在，则k=_____e^-2______.

 

【解析】利用重要极限Ⅱ和极限存在的充要条件，可知k=e^-2．

 

 

2当x→0时，1-cos戈与x^k是同阶无穷小量，则k= ___2____．

【解析】根据同阶无穷小量的概念，并利用洛必达法则确定k值．

 

 

3设y=in(x+cosx)，则yˊ __________．

 

【解析】用复合函数求导公式计算．

 

4设y=x(x+1)(x+3),则y^///=____6_______

 

5设y=y(x)由方程x²+y²+xy=1确定，则_____________

 

【解析】利用隐函数求导公式或直接对x求导．

将等式两边对x求导(此时y=y(x))，得

 

6设ƒ(x)的导函数是sin 2x，则ƒ(x)的全体原函数是 __________．

【解析】  本题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念．

 

 

7设,则f(x)=_________

 

 

8曲线y=xlnx-x在x=e处的法线方程为 __x+y-e=0________．

【解析】  先求切线斜率，再由切线与法线互相垂直求出法线斜率，从而得到法线方程．

 

9=_____2π________

【提示】  利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质．

 

10设,则=___________

 

【提示】  将函数z写成z=e^x2·e^y，则很容易求得结果．

11函数的定义域为_______.

【解析】据”二次根号内非负”,  得  

12曲线的拐点坐标（）= （1，） 。

【解析】：求二阶导数, 令二阶导数为0, 求得拐点横坐标1, 再求得拐点横坐标。

13决定，求=____1______

【解析】两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1

14设y=arCCOSx，则yˊ__________

 

【解析】  用求导公式计算即可得答案

15若ƒˊ(x)=sin x+x+1，则ƒ(x)__________

 

【解析】本题考查的知识点是不定积分公式

三、解答题．

1．计算

【解析】

或

 

2已知

【解析】

3求

【解析】

= 

4设，求

【解析】

5计算；

【解析】

令

6已知a、b为正常数，；

【解析】令

7设是上凸连续曲线，处曲率为，且过处切线方程为y=x+1，求及其极值。

【解析】

8(本题满分10分)在抛物线y²=4x与x=2所围成的平面区域内作一矩形，其一边在x=2 上，另外两个顶点在抛物线上，求此矩形面积最大时的长和宽，最大面积是多少?

本题考查的知识点是利用导数研究函数特性的方法．

【解析】  本题的关键是正确列出函数的关系式，再求其最大值．

解如图2-7-1所示，设A点坐标为(x₀，y₀)，则AD=2-x₀，矩形面积

 

 

 

 

9设在[0，1]连续，在（0，1）上，且，又与x=1,y=0所围面积S=2。求，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。

【解析】

   

10求函数的单调区间和极值

【解析】函数的定义域为.

令=0，得驻点，.

				3
		0		0
		极大值7		极小值-25

因此的单调增区间是，；单调减区间是,的极小值为，极大.

11已知离散型随机变量X的概率分布为

 

        X  10  20    30 40

 

       

        P  0.2  0.1    0.5

 

(1)求常数;

(2)求X的数学期望EX .

【解析】（1）因为，所以

（2）=27.

12．(本题满分10分)求由曲线y=x，y=lnx及y=0，y=1围成的平面图形的面积S，并求

此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V_y．

【解析】  首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形，然后根据此图形的特点选择对x积分还是对)，积分．选择的原则是：使得积分计算尽可能简单或容易算出．本题如果选择对x积分，则有

 

这显然要比对y积分麻烦．

在求旋转体的体积时一定要注意是绕x轴还是绕y轴旋转．历年的试题均是绕x轴旋转，而本题是求绕y轴旋转的旋转体的体积．

旋转体的体积计算中最容易出现的错误(在历年的试卷均是如此)是：

 

解  画出平面图形，如图2-7-2所示的阴影部分，则有阴影部分的面积

 

 

13设函数在处取得极大值5.

  （1）求常数和.

  （2）求函数的极小值.

【解析】（1）先求  

再由题设得   解

（2）令

得驻点

所以    为所求的极小值.

14一平面曲线通过坐标原点，且它在任意点处的切线斜率为此点的坐标之和，求该曲线方程。

【解析】设所求曲线方程为，由题意可得： （1）所对应的齐次方程为：，解之得，令 ，代入方程（1）得到： ，解之得：.

所以方程（1）的通解为：，由（2）可得C=1，所求曲线方程为：

15证明：当时，

【解析】令，求导得：，因此在内是单调增加的，所以当时，有，也即，